La graine de sotwan, l’énigme maths du « Monde » nᵒ 109

.erdnieté’s rap essinif erutluc as euq étilibaborp al erid-à-tse’c, esrevni étilibaborp al rerédisnoc ed ésia sulp ertê tuep lI

Notons p la probabilité de voir la culture du professeur Galton s’éteindre (que ce soit immédiatement ou au bout de quelques générations). L’événement d’extinction peut se découper en deux événements disjoints : soit la première graine ne germe pas, ce qui a une probabilité sur quatre d’advenir ; soit la première graine germe (dans 3/4 des cas), mais les deux cultures issues de chacune de ses deux graines filles vont s’éteindre (ce qui arrive avec une probabilité p pour chacune, puisqu’elles sont similaires à la première), cette seconde option a donc une probabilité (3/4) × p × p d’advenir.

Finalement p = 1/4 + (3/4) × p × p. En multipliant par 4 et en transvasant tous les termes du même côté, on obtient l’équation 3p² − 4p + 1 = 0. On peut alors la résoudre par la méthode classique (on calcule le discriminant et tout le tralala) ou en constatant que p = 1 est la solution, ce qui permet de trouver la factorisation (p − 1) (3p − 1) = 0. Il y a donc deux solutions : p = 1 et p = 1/3.

Le cas p = 1 = 100 % signifierait que l’extinction est certaine. On peut légitimement supposer que le professeur Galton ne se serait pas donné tout ce mal pour une culture vouée à l’échec et en conclure que p = 1/3. Mais, si cette explication ne vous satisfait pas, on peut noter p (n) la probabilité d’extinction en moins de n générations. Par le même raisonnement que précédemment, on établit la relation de récurrence p (n + 1) = 1/4 + (3/4) p (n) ² avec p (0) = 0 (la récolte n’est pas éteinte à la génération 0 puisque la première graine existe). Par récurrence, si p (n) < 1/3, alors p (n + 1) < 1/4 + (3/4) (1/3) ² = 1/3 donc la probabilité d’extinction reste à toute génération inférieure à 1/3 et sa limite ne peut donc valoir 1.

Finalement, la culture des graines de sotwan a 1 chance sur 3 de finir par s’éteindre d’elle-même et 2 chances sur 3 de pérenniser.