Une révolution de la relation entre mathématiques et IA ?

En cette rentrée, les mathématiques sont à la une. Anthropic a d’abord annoncé le 4 septembre avoir formalisé la preuve du grand théorème de Fermat, énoncé au XVII^e siècle, dont Pierre de Fermat disait avoir trouvé une preuve « merveilleusement simple » malheureusement perdue, et qui ne fut prouvé par Andrew Wiles qu’en 1994. L’exploit d’Anthropic a été de vérifier formellement. OpenAI a ensuite annoncé, le 8 septembre, avoir résolu une version du problème de Navier-Stokes, un des sept « problèmes du millénaire » identifiés par l’Institut de mathématiques Clay.

Les résultats sont impressionnants, mais comment peut-on s’assurer de leur validité ? Dans les deux cas, la preuve a été formalisée en Lean, un logiciel qui permet de décrire dans un langage « informatique » ses étapes successives et de vérifier leur enchaînement correct. Lean permet donc de vérifier une preuve, mais au prix d’un effort de modélisation extrêmement complexe, notamment de codage non seulement de la preuve elle-même, mais de toute la théorie sous-jacente. C’est dans ce cadre que la démonstration de l’IA du théorème de Fermat a pu être écrite et surtout vérifiée : les 13 millions de lignes de code Lean n’auraient pas pu être vérifiées par un être humain.

Ces avancées, à l’exposition médiatique sans précédent, interrogent les mathématiciens sur l’évolution de leur domaine avec l’essor de l’IA générative. C’est précisément la question que s’est posée l’Australo-Américain Terence Tao dans un article du 17 août, basé sur sa conférence au Congrès international des mathématiciens un mois plus tôt. Il y souligne l’importance du cheminement vers la découverte, autant que du résultat : la validation par les pairs, l’appropriation par la communauté, l’insertion dans le corpus qui formera les mathématiciens de demain. A cet égard les 13 millions de lignes de Lean sont à mettre en regard des 130 pages rédigées par Wiles et de la conviction de Fermat lui-même de l’existence d’une preuve « merveilleusement simple ».

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